Hệ thống một số phương trình - hệ phương trình

PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA
ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0)
Chú ý :
- Phương trình bậc lẻ luôn luôn có nghiệm thực
- Định lý Viete : Nếu phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0) có 3 nghiệm x1, x2, x3 thì :
x1 + x2 + x3 = -b/2a
x1x2 + x2x3 + x3x1 = c/a
x1x2x3 = -d/a

I. Những dạng thông thường

1. Nếu x = x0 là một nghiệm, ta có thể phân tích thành dạng :
(x - x0)(ax2 + bx + c) = 0
Đặc biệt :
- Nếu a ± b + c ± d = 0 → x = ±1 là nghiệm
- Nếu (d/a) = (c/b)3 → x = -c/b là nghiệm

2. Phương trình dạng A3 + B3 = (A + B)3
pt A3 + B3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) AB(A + B) = 0

II. Những dạng tổng quát

1. Phương trình 4x3 - 3x = q

* Với │q│ ≤ 1
- Đặt x = cost , pt trở thành : cos3t = q
- Gọi α là góc thỏa cosα = q, như vậy : cos3t = cosα
- Ta chọn t1 = α/3 ; t2,3 = (α ± 2π)/3
- Kết luận phương trình có 3 nghiệm x1,2,3 = cos t1,2,3
Chú ý rằng bước đặt x = cost là một cách đặt "ép" ẩn phụ, ta không cần chứng minh rằng pt trên luôn có nghiệm nhỏ hơn 1, khi tìm được đủ 3 nghiệm thì ta có thể kết luận ngay

* Với │q│ > 1 :
- Ta dễ dàng CM được pt không có nghiệm thuộc [-1;1] và nếu phương trình có nghiệm x0 không thuộc [-1;1] thì x0 là nghiệm duy nhất
- Ta chọn a thuộc R để pt có dạng 4x3 - 3x = ½ (a3 + 1/a3) bằng cách :
q = ½ (a3 + 1/a3) a6 - 2qa3 + 1 = 0 (→ tìm được a)
- CM x0 = ½ (a + 1/a) là nghiệm (duy nhất) của phương trình

2. Phương trình 4x3 + 3x = q
- Giả sử phương trình có nghiệm x0, dùng đạo hàm ta CM được x0 là nghiệm duy nhất
- Ta chọn a thuộc R để pt có dạng 4x3 + 3x = ½ (a3 - 1/a3) rồi CM x0 = ½ (a - 1/a) là nghiệm (duy nhất) của phương trình (phương pháp tương tự như trên)

3. Phương trình x3 + px + q = 0 (Công thức Cardan - Tartaglia)
- Đặt x = u - v sao cho uv = p/3
- Từ pt, ta có : (u - v)3 + 3uv(u - v) = u3 - v3 = q
- Hệ phương trình uv = p/3 và u3 - v3 = q cho ta một phương trình trùng phương theo u (hoặc v), từ đó suy ra u,v và tìm được một nghiệm x = u + v
Chú ý rằng trong lúc giải phương trình trùng phương có thể ta gặp nghiệm phức (u hoặc v) nên từ đó phương trình bậc ba còn cho thêm 2 nghiệm phức nữa (đó mới là dạng đầy đủ của công thức trên)
Ngoài ra, các phương trình 4x3 ± 3x = q như trên cũng có thể giải được bằng PP này

4. Phương trình bậc ba tổng quát X3 + AX2 + BX + C = 0
Đặt X = x - A/3, pt trở thành x3 + px + q = 0 (#)

Cách 1 : Giải trực tiếp theo công thức Cardan - Tartaglia

Cách 2 :
- Đặt x = kt (k > 0) , (#) trở thành : k3t3 + pkx + q = 0
(chọn k sao cho k3/4 = pk/3 nếu p > 0 hoặc k3/4 = -pk/3 nếu p < 0)
- Phương trình được đưa về dạng 4t3 ± 3t = Q